指数函数教学教什么 ——渠东剑 江苏省南京市秦淮区教学研究室

指数函数教学教什么
渠东剑
（江苏省南京市秦淮区教学研究室 ２１０００１）
  ２０１１年江苏省高中数学青年教师优秀课评
比的课题是“指数函数”、“几何概型”，并提前３个
月公布于众．为配合此次活动，南京市教研室举行
了一系列活动：以同样的课题，通过说课、上课，挑
选推荐参加省级比赛的选手，并为参加省赛课进
行集体备课．笔者作为评委参与其中，受益匪浅：
经历了研究探索的过程，深化了对教学内容的认
识，引发了对教学设计的深度思考……这里，笔者
以指数函数为例，谈谈自己的真切体会．
１ 指数函数教学教什么
１．１ 高中指数函数的教育价值
我们先从整体上把握高中数学新课程“函数”
的教学．在高中数学新课程中，函数内容展开的线
路与顺序是，第一步，函数的概念（三要素）、表示
方法．第二步，研究函数的性质（单调性、奇偶性），
从数和形两个角度研究并相互印证，以求让学生
初步形成研究函数的一般方法，即掌握研究函数
一般要研究哪些内容，通过怎样的方法与思路去
研究．第三步，学习具体的重要的函数模型：指数
函数、对数函数、幂函数、三角函数，数列（离散型的
函数）等．而这些函数模型的学习与研究，又是在重
复并深化了研究函数的一般方法与步骤：函数的定
义域是什么，对应法则如何，性质怎样？其图形表
征是怎样的？（图形语言）看图象能够看出什么？
（数形结合）学生不仅学到了知识，而且掌握了方
法，提高了能力．第四步，就是函数的知识与方法在
学习其它内容过程中的渗透与应用，同时，学生对
函数的理解也在一直不断地得以强化和深入．
可见，指数函数是在学习“对应说”函数概念
和函数的一般性质的基础上，具体研究的第一个
重要函数模型，是应用研究函数性质的一般方法
去研究函数的一次实践．对学生而言，既学习了新
的函数模型，又强化了对函数研究方法的掌握，为
后续学习研究另外的几个重要函数模型积累宝贵
的经验，还将进一步深化对函数概念的理解．指数
函数是超越函数，学生第一次遇到，学习面临着挑
战．其学习过程充满着观察、分析、抽象、概括等方
法，蕴含着从特殊到一般、数形结合、函数的思想．
因此，学习指数函数是学生认识函数的又一次飞
跃．更为重要的是，让学生深入理解科学研究的一
般方法，这对于提高学生的科学素养，实现教育要
关注“人的发展”是十分有意义的．
１．２ 指数函数教学教什么
按照南京师范大学涂荣豹教授的观点，教什
么就是教学生学什么和教学生怎么学．具体到本
节课，我们就要思考：学生学习指数函数，能够在
哪些方面得到发展，为了达成这一教学目标，我们
又要把握哪些关键呢？
首先，教学生学习“提出问题”．提出问题比解
决问题更重要．因而，教学要创设恰当的问题情
境，努力让学生产生学习研究新事物的倾向，尝试
提出问题．在新课引入的过程中，学生可能会自然
地有这样的疑问：既然我们已经学习了函数的概
念和性质，为什么还要研究具体的函数；函数有千
千万万，为何要专门研究指数函数？这就要求我
们在问题情境的创设（本节课是以实际问题情境
引入新概念）时给学生以强烈刺激：形式新———以
前未曾见过；有用———问题均来自于现实背景．从
而，使学生意识到学习研究这样的函数模型的必
要性，产生学习研究的欲望和动力．进一步地，启
发引导学生思索：这一类事物的共同的本质属性
是什么，如何给他们下一个严格的数学定义……
在问题情境基础上的观察、比较、分析、概括……
学生自主建构概念过程也就自然地展开了．
其次，让学生学习“寻找”一般科学研究方法
的方法．这具有方法论的意义．在建立指数函数概
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念后，接下来要干什么？———研究它的性质．但
是，这个问题由谁提出，由谁回答，大不一样：是教
师直接给出这样的任务倾向，明示学习的任务，让
学生具体地做下去；还是由学生主动产生探究的
欲望，并自己探索研究的任务和方向，应该说二者
不是一个层次上的问题．显然，前者对学生学习能
力（具体地：自己提出问题，探索研究方向）的培
养，是非常重要的．如果教师告知指导学生，接下
来要干什么，要怎么做，学生只能是按教师的“既
定路线”去“执行”，只能是完成教师布置的任务，
其学习过程是被动的，思维是肤浅的．将来遇到新
的问题，学生还是束手无策，不知所从．因此，启发
引导学生自己提出问题、自己寻找探究的方向、探
究的方法，自己概括探究的结果……也许是本节
课的重中之重．
在学生明确要研究指数函数的性质的任务取
向后，接下来的问题自然是，怎样研究指数函数的
性质，即通过什么途径、用什么方法来研究它的性
质———这还是需要让学生自己去寻找．教师只能
是启发引导：以往有什么样的研究函数性质的经
历、经验，初中阶段是如何研究函数性质的，进入
高中后又学习了函数的哪些性质，研究函数要研究
函数的哪些性质……教师要不断地、愈来愈近地、
由暗及明地启发引导，让学生自己主动地去回想联
想，探索研究函数性质的方法，明确研究函数性质
的内容，确定研究方案，并付诸于研究的实践．
另外，指数函数的概念、图象、性质，当然是重
要的知识，是本节课的重点，是学生要努力学习掌
握的，但是，教学仅关注知识的落实是不够的．因
为，比知识更为重要的是发展学生的认识力．正如
涂荣豹教授所说的：“如果把‘人的发展’放在首
位，那么，每节数学课都要把发展学生的认识力作
为教学的最大目标．”从这样的观点出发，去设计
教学，去实施教学，才可能是真正把准了知识与能
力的关系，并在教学中做到：既落实知识，更注重
培养和发展学生的能力．从而，把提出问题的机会
留给学生，把寻找方法的空间让给学生，把自主探
究学习的权力还给学生，把学生的数学思考给“逼
向”深入……是教师应该努力做到的．
２ 教学内容的三个节点分析
笔者认为，指数函数的教学有三个环节不容
忽视，或者说，这三个环节把握的恰当与否是教学
设计和实施成败的关键．
第一，指数概念的引入．如前文所及，需要创
设一组问题情境，并启发引导学生“从大量的同类
事物的不同例证中独立发现同类事物的关键属
性”．问题情境应当是反映共同本质属性的、学生
所熟悉的、学生感兴趣的若干个实际问题．让学生
从问题解决的过程中发现新事物，然后是去“情境
化”，即把具体的实际问题转化为具体的数学问
题．在此基础上，再进行二次抽象：把具体的数学
问题转化成更为一般形式的概括———建立严格的
数学概念．
第二，指数函数性质的研究．要注意以下几个
关键：一是要让学生提出问题———需要研究指数
函数的性质；二是要让学生探究研究函数性质的
方法———怎样研究函数的性质；三是在研究过程
中，让学生有明确的研究目标———研究函数性质
研究什么，也就是得到怎样的“研究成果”才算完
成了指数函数性质的研究．
第三，指数函数的简单应用．即例题的教学，
具体是简单指数式的大小比较，需要利用指数函
数的单调性．问题看似简单，实则蕴含着重要的函
数思想：题目中没有函数，需要将问题转化为函数
问题，即需要引进指数函数解决．问题的思维价值
在于：怎样想到的“引进”一个“指数函数”？———
努力地让学生自己去“想到”，正是培养学生寻找
解决问题策略的大好时机，同时，也将促进学生对
函数思想的理解．如果教师直接讲解告知，即像教
材上那样，上来就直接解题，开始就“考察指数函
数……”解题过程无懈可击，学生“听懂”没有困
难，解决类似问题也可模仿处理，好像并无不妥．
但是，结果似从天而降，过程毫无思维含量而言，
教学是教师强加于人，题目也变得索然无味了．从
这一点而言，看似简单例题的教学，也许还有文章
可做．
３ 三个节点教学设计构想
基于上述分析，就上述三个节点的教学设计，
在启发引导学生自主探究方面，笔者从提问设计
的角度，作出以下设想和思考．
３．１ 概念引入要突出过程
先给出三个实际问题情境（其中两个来自于
苏教版教材），并通过问题解决得到三个关系式：
（１）某细胞分裂时，由１个分裂成２个，２个
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分裂成４个，４个分裂成８个，……若细胞分裂的
次数为ｘ，相应的细胞个数ｙ 是多少？
ｙ＝２ｘ，ｘ∈Ｎ＊；
（２）根据下面的一句话，写出“天数”ｘ 与“长
度”ｙ 的关系式：
“一尺之棰，日取其半，万世不竭”———《庄子·
天下篇》．
ｙ＝（ ） １２
ｘ
，ｘ∈Ｎ＊；
（３）要测定古物的年代，可以利用放射性碳
法：在动植物的体内都含有微量的放射性１４ Ｃ．动
植物死亡后，停止了新陈代谢，１４ Ｃ 不再产生，且
原有的１４ Ｃ 会自动衰变．经科学测定，若１４ Ｃ 的原
始量为１，则经过ｘ 年后的残留量为ｙ
＝０．９９９８７９ｘ．
然后引导学生分析这些关系式的特点，努力
让学生感悟到：这是一组函数关系式———它符合
函数的定义；这样的函数关系式很有用，值得关
注———它们全部来自现实生活；这样的函数关系
式从未见过，是新生事物；进一步地，它们有何共
同特点———自变量在指数位置……让学生尝试概
括指数函数的概念也就水到渠成了．在整个建立
概念的过程中，一是要给学生充分的观察、比较、
分析、概括的时间和空间；二是要悉心的启发引导
学生自主建构概念．特别是概括事物的本质属性，
要给学生充分的思考时间，比如，让学生相互讨论
交流，让学生再举出类似的例子．
附带说一下关系式ｙ＝０．９９９８７９ｘ 中的ｘ 的
范围的理解．教材中设“经过ｘ 年后”，似乎ｘ 要
取正整数，但理解为“ｘ 可取一切正实数”可能更
好：一是客观上说得通，１４ Ｃ 的衰变本身就是连续
变化的；二是这样做对理解指数函数的定义域为
Ｒ有好处；三是在前面学习“分数指数幂”时，学生
已“知道”当ｘ 为无理数时，ａｘ 是一个确定的实
数．这对概念的理解与概括都是有益的．至于ａ＞
０，ａ≠１的规定，只需根据“分数指数幂”的定义不
难理解，不必花太多时间和精力，它并非本节课的
重点，而且，过多涉及反而“说不清”，会增加学生
理解概念的困难．
３．２ 性质学习要注重探究
建立指数函数的概念后，接下来要干什
么？———研究它的性质；怎样研究？———寻找研
究的方法；研究什么？———明确研究的目标．这一
切均应是学生的自主探究．教师所要做的，就是启
发引导———用大量的元认知启发提示语去引导学
生，并给学生充足的时间去交流、充分的空间去探
索．笔者给出如下的问题串，教学过程中视具体情
况再作调整：
———我们已建立了指数函数的概念，接下来
你想干什么？
———你想进一步认识指数函数吗？
———指数函数有何特征？
（启发引导学生自己提出“要研究指数函数性
质”的问题）
……
———您打算怎样研究指数函数的性质呢？
———以前有过类似的经历吗？
———你研究过哪些函数的性质，是如何研
究的？
（让学生回忆研究函数性质的方法———画图
象，由图象观察其性质）
……
———你如何实施你确定的研究方法和研究
目标？
———你怎样画出指数函数的图象？
（让学生自己选择ａ的值，画图象）
（教师巡视，发现并选择有代表性图象展示，
比如，要关注到两类（ａ＞１、０＜ａ＜１）情形）
———从图象你看出了什么，请说说，说的越多
越好．
（笔者认为，教师并不需要事先给学生明确要
研究函数的性质，而是让学生从图中多观察出信
息，增加研究的开放性．当学生回答时，教师择其
要点板书，列出指数函数的性质，包括“图象过定
点（０，１）”）
———研究函数的性质主要关心哪些“指标”？
（让学生明确研究函数的性质主要研究什么）
———这些结论是根据具体的指数函数的图象
观察出来的，对一般的情形成立吗？
……
（师生最终完善形成“指数函数的图象和性质”）
３．３ 解题教学要体现方法
先将课本（苏教版）上的例题抄录如下：
例 比较下列各组数中两个值的大小：
８ 数学通报        ２０１２年 第５１卷 第３期
（１）１．５２．５，１．５３．２；
（２）０．５－１．２，０．５－１．５．
如前所述，问题解决是利用指数函数的单调
性来比较指数式的大小，教学的意义在于让学生
寻找解决问题的方法———函数思想．笔者这样设
想提问与启发：
———如何比较二者大小，你能通过计算比
较吗？
———如果能，那改为比较１．５槡２ 与１．５槡３ 的大
小呢？
（意在让学生感受到：直接计算并不是解决问
题的办法，必须要寻求另外的“出路”）
———两式有何特征，有何共同特点？
（分析出都是指数式，底数相同，指数不同）
———指数不同是什么意思，是否意味着指数
在变化，你有何联想？
（底数不变，指数变化———联系指数函数）
———应该引进怎样的指数函数？
———引进指数函数后怎样说明两个式子值的
大小？
……
笔者认为，学生学习的过程就是一个不断地
提出问题、寻求方法、解决问题的过程．教师应给
学生创造条件，并作悉心地启发引导，让学生自己
提出问题，自己寻找研究的方法，自己拟定研究的
方案，自己总结研究的成果……从而促进学生认
识力的提高，实现学生的可持续发展．正是从这一
点出发，笔者作了上述分析与思考，不当之处，请
广大同仁批评指正．
参考文献
１ 曹才翰，章建跃．数学教育心理学［Ｍ］．北京：北京师范大学出
版社，１９９９，１２
２ 涂荣豹．谈提高对数学教学的认识［Ｊ］．中学数学教学参考，
２００６，１～２
３ 单墫主编．普通高中课程标准实验教科书（必修）·数学１
［Ｍ］．南京：江苏教育出版社，２００５
４ 渠东剑．从集体备课视角看校本教研［Ｊ］．中国教育学刊，
２００９，４
５ 渠东剑．提高区域研讨活动有效性［Ｊ］．中学数学教学参考，
２０１１，５
（上接第５页）
  教师Ｈ、教师Ｉ都注意到让学生描点画图探求
函数性质的重要性，但不同的是教师Ｉ在让学生描
点画图之前，先让他们对反比例函数解析式ｙ＝
ｋ／ｘ（ｋ≠０，ｋ为常数）进行讨论．通过分析了解反
比例函数分类、图象的大致走向，这样就明确了为
什么选两个反比例函数代表就够了，描点画图时选
一些关键点就够了．这正是教师Ｈ所欠缺的．
由此可见，信息技术是否使用，何时使用以及
怎样使用，都会对教学产生影响．如果使用不恰
当，就会给抽象思维、想象能力的培养帮倒忙．因
此，面对中学数学课堂，现在的问题不是要不要整
合，而是如何有机地整合，也就是要探讨有效整合
或深度融合的策略．
３ 思考建议
（１）整合的内涵（实质）的正确理解是有效整
合的先导条件；拥有信息技术应用技能是有效整
合的必要条件．整合的诸多问题，以及信息技术
的日新月异，除了应重视硬件的投入和优质数学
教育资源库的建设以外，还应加强数学教师信息
技术与学科整合的（再）培训．
（２）信息技术本身并不会自动产生教育作用，
只有同一定的教育内容、教育目标、教学组织形
式、教学方法等联系起来时，其教育价值才能表现
出来．同时信息技术在教学中发挥的程度，取决于
使用它的教师．笔者认为信息技术与数学教学的
整合要树立两个意识：一是资源意识，即信息技术
是探索、呈现、获取数学知识的重要工具和手段；
二是问题解决意识，即信息技术是学生学习数学
和解决问题的强有力工具．这两个意识需要在教
师的培训中加以强化．
（３）信息技术与中学数学教学整合，可从三个
纬度考虑．其一是教与学的内容，其二是教与学的
环节，其三是在教与学中的作用．就教与学的内容
而言，既要考虑知识技能，也要涉及数学思考、问
题解决以及情感态度的整合．知识技能的整合，
应突出易于信息技术表现的教与学的重点、难点
及相关的拓展问题．就教与学的环节而言，整合应
强调从教与学两个方面思考：是情境创设，是启发
引导，是归纳验证，还是过程探究．就教与学中的作
用，可从如下方面考虑：创设情境，引发动机；提供
事实，建立经验；呈现过程，形成表象；举例验证，建
立概念；实验探究，发现命题；设难置疑，引起思辨；
开阔视野，陶冶情操；归纳总结，复习巩固．
２０１２年 第５１卷 第３期         数学通报 ９