“解一元一次不等式”主要教学环节的两种设计思路
南京师范大学附属中学新城初级中学（210019） 叶旭山
一、内容及目标分析
“解一元一次不等式” 是苏科版教材七年级第十一章第四节的内容，该内容是在“一元一次方程”的内容之后进行的，因此学生学习一元一次不等式有关内容是以类似和相近的学习经验为基础的．解一元一次不等式与解一元一次方程可以进行类比，感受类比、化归的思想．例如一元一次方程的解的概念学习为理解一元一次不等式的解集的意义奠定了很好的认知基础，而一元一次方程解法的学习经验，则为一元一次不等式的解法提供了方法储备．教学中应关注从方程到不等式这种学习经验的迁移，注意比较两者之间的异同．
《2011版课程标准》对本节的要求是：能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集．本节内容是在了解一元一次不等式，不等式的解、解集，解不等式概念的基础上，要求学生能依据不等式基本性质，按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤把数字系数的一元一次不等式化为x＞a（x≥a）或x＜a（x≤a）的形式，并能在数轴上表示出解集，例如，x＞3可以用数轴上表示3的点的右边部分来表示，要求数轴作图规范，表示3的点的位置画空心圆圈．
基于以上的理解，本节课的教学目标确定为：
1．经历一元一次不等式概念的形成过程；
2．会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集；
3．体会类比、化归的思想方法．
基于以上的分析，本节课的教学重点和难点确定为：
重点：会解一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集．
难点：正确应用不等式基本性质2的第2条结论．
二、教学设计思路：
（一）一元一次不等式的概念
设计方案1：
问题1 不等式x+5≥3，x＜48，2x＜x－3，2y+4≤0等有哪些共同的特点？你能在写出几个这样的不等式吗？
问题2 形如ax<b或ax>b（a、b为已知数，a≠0）的不等式含有几个未知数，未知数的次数是几次？联想一元一次方程的概念，你认为形如ax<b或ax>b（a、b为已知数，a≠0）这样的不等式应该叫做什么不等式？
问题3 下列不等式是一元一次不等式吗？为什么？
（1）2x－2≥15；（2）5+3x＞240；（3）x＜－4；（4）＞1．
设计方案2：
1．回顾一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程．
2．大家能类比推出一元一次不等式的定义吗？（只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫一元一次不等式）．
3．判断以下的不等式是不是一元一次不等式．请大家讨论．
（1）2x－2≥15；（2）5+3x＞240；（3）x＜－4；（4）
＞1．
设计意图：方案1是事先给出多个不等式，让学生总结这些不等式的共同特点，这符合数学概念教学的一般流程，让学生用类比的方法，试着给一元一次不等式下定义，能提高学生的学习积极性，有利于学生概括能力的提升．方案2是基于学生一元一次方程的学习经验，在此基础上类比推出一元一次不等式的定义，然后判断和辨析，这样有利于类比能力的培养．
（二）如何解一元一次不等式
设计方案1：
问题1 解方程：3x+70=100
问题2 解不等式：3x+70>100
问题3 请比较解不等式3x+70>100的过程与解方程3x+70=100的过程有什么异同点？
问题4 回顾一元一次方程的解题步骤，猜想一下解不等式的步骤是否与解方程的步骤类似？解方程与解不等式有什么异同？
设计方案2：
1．观察不等式x+3<6与x<3，说明x<3是x+3<6依据什么变形得到的？
2．填空：
（1）已知x+5≥3，依据 ，可得它的解集x ．
（2）已知x+3≤2，依据 ，可得它的解集x ．
问题1 依据不等式的基本性质1，由x+3<6 可以得到x<3，请联想解方程的知识，这种变形实际上相当于什么？（这种变形，相当于解方程中的移项．）
问题2 请同学们再观察填空中的两个变形，这种变形与解方程中的移项是否一致？
问题3 请你解决如下两个问题：（1）解方程：3x+70=100；（2）解不等式：3x+70>100
请比较解不等式3x+70>100的过程与解方程3x+70=100的过程有什么异同点？
问题4 回顾一元一次方程的解题步骤，猜想一下解不等式的步骤是否与解方程的步骤类似？特别是系数化为1时，解方程与解不等式有什么异同？
设计意图：方案1通过比较解不等式3x+70>100的过程与解方程3x+70=100的过程的异同点，总结一元一次不等式的解法，由学生猜想解一元一次不等式的一般步骤: 去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1．这样的设计有利于学习经验的迁移．方案2增加材料1和2的目的在于增强学生的感性认识．在解决问题1和问题2的过程中师生共同得出：解方程中的移项法则对解不等式同样适用．让学生察、探索，把发现的规律与解一元一次方程中的移项法则作比较；在解决问题3的过程中师生共同得出：解不等式的步骤与解方程类似，但在系数化为1时，解方程只需系数不为零即可，而解不等式时还要看这个系数的符号：若系数为正数，把系数化为1时，不等号方向不改变；若系数为负数时，把系数化为1时，不等号应改变方向．这样的设计有利于学生进行知识的类比．
（三）例题教学
1．关于例1的教学
例1 解不等式
，并把它的解集在数轴上表示出来．
设计方案1：
（1）引导学生读题，明确题目要求．
（两个要求：一是求不等式的解集，二是把不等式的解集表示在数轴上．）
（2）由学生把原不等式变形为ax>b或ax<b（a、b为已知数，a≠0）的形式，教师板书示范．
（3）请同学们思考，如何把系数化为1？（这里把解不等式的过程分为两步，目的是让学生在系数化为1时，养成先判断系数的符号、再选用性质的好习惯．）
（4）由学生把不等式的解集在数轴上表示．
设计方案2：
问题1 如何求不等式的解集？（求不等式的解集的过程实际上就是把不等式变形为x>a或x<a的形式的过程）
问题2 如何将不等式转化为x>a或x<a的形式呢？每一步的依据是什么？
问题3 如何将不等式的解集在数轴上表示上表示出来呢？
设计意图：方案1的设计是引导学生明确解题要求，层层深入，引导把解不等式的过程分为两步，目的是让学生在系数化为1时，养成先判断系数的符号、再选用性质的好习惯．方案2的设计引导学生在理解求不等式的解集本质上就是把不等式变形为x>a或x<a的形式的基础上，对于具体的化归路径放手让学生去探索实质是一个明确方向的代数推理过程，有助于培养学生的自主探索的意识．
2．关于例2的教学
例2 解不等式
，并把它的解集在数轴上表示出来．
设计方案1：
（1）请你观察不等式的特点，它与例1中的不等式有什么不同？
（2）如何将例2转化为例1的形式呢？对它进行变形的依据是什么？变形时应该注意什么问题？请你完成这一步变形．
（3）由学生把原不等式变形为ax>b或ax<b（a、b为已知数，a≠0）的形式，教师板书示范．
（4）请同学们思考，如何把系数化为1？
（5）你还能用其他方法解这个不等式吗？
设计方案2：
问题1：如何求不等式的解集？（求不等式的解集的过程实际上就是把不等式变形为x>a或x<a的形式的过程）
问题2：如何将不等式转化为x>a或x<a的形式呢？每一步的依据是什么？
问题3：如何将不等式的解集在数轴上表示上表示出来呢？
设计意图：方案1的设计是引导学生比较例2与例1形式上的不同，层层深入，引导将例2转化为例1的形式，引导学生关注去分母与不等式的基本性质2、3有关，此处的问题有助于强化学生对不等式基本性质的再认识，然后再次引导学生把不等式系数化为1时，养成先判断系数的符号、再选用性质的好习惯．方案2的设计引导学生牢牢把握求不等式的解集过程实际上就是把不等式变形为x>a或x<a的形式的过程，对于具体的化归路径依然放手让学生去探索（有可能会有学生第一步不是去分母，而是将右边拆成两个分数的形式，对此要予以肯定），进一步明确求不等式解集的变形方向，有助于培养学生的自主探索的能力．
3．关于例3的教学
例3 解不等式
，并把它的解集在数轴上表示出来．
设计方案1：
（1）请你观察不等式的特点，它与例1、例2中的不等式有什么不同？对它进行变形的依据是什么？变形时应该注意什么问题？请你完成这一步变形．
（2）由学生完成后续步骤．
（3）观察解题过程，从哪一步之后出现负系数的，原因是什么？
（4）你还能用其他方法解这个不等式吗？
设计方案2：
问题1：如何求不等式的解集？（求不等式的解集的过程实际上就是把不等式变形为x>a或x<a的形式的过程）
问题2：如何将不等式转化为x>a或x<a的形式呢？每一步的依据是什么？
问题3：如何将不等式的解集在数轴上表示上表示出来呢？
问题4：你还能用其他方法解这个不等式吗？
设计意图：方案1的设计是引导学生比较例3与例1、例2形式上不同，层层深入，在与例2形式比较过程中，注意去分母过程中不要漏乘不含分母的项，再引导学生将例3转化为例1的形式，在与引导学生关注去分母与不等式的基本性质2、3有关，此处的问题依然是强化学生对不等式基本性质的再认识，然后再次引导学生把不等式系数化为1时，先判断系数的符号，再选用性质，通过观察，产生负系数的原因是由移项造成的，只要在移项时把含有未知数的项移到不等式的右边，负系数便可转化为正系数，由此得出本题的第二种解法．方案2的设计依然是引导学生牢牢把握求不等式的解集过程实际上就是把不等式变形为x>a或x<a的形式的过程，对于具体的化归路径依然放手让学生去探索（这里可能出现多种方法，只要步步有理，就要予以肯定，适当进行方法比较，选择合适的方法解决），这样设计有助于学生理解求不等式解集的本质和培养学生的自主探索的能力．
作者简介：叶旭山，南京市第四届优秀青年教师 南京市第七届学科带头人 江苏省优质课评比一等奖
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