“一元一次不等式组及其解法”主要教学环节的两种设计思路

 “一元一次不等式组及其解法”主要教学环节的两种设计思路

叶旭山（南京师范大学附属中学新城初级中学）

 “一元一次不等式组及其解法”是苏科版教材七年级第十章第六节的内容，在本章内容之前学生已经学习了一元一次方程和二元一次方程组的相关内容．本章学习一元一次不等式和一元一次不等式组，应突出由一些具体的实际问题抽象为不等关系模型的过程，让学生体会建立不等关系及学习一元一次不等式和一元一次不等式组的意义．本节内容教材的编排主要是让学生经历通过具体问题抽象出不等式组的过程，理解一元一次不等式组及其解集的意义，初步感知利用一元一次不等式解集的数轴表示求不等式组解和解集的方法，然后通过具体例题熟练掌握解一元一次不等式组的过程．

    《2011版课程标准》对本节的要求是：会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集．本节内容是在了解一元一次不等式组，不等式组的解集，解不等式组的基础上，要求学生能利用数轴找出两个一元一次不等式解集的公共部分从而确定不等式组的解集．本节课学生学习一元一次不等式组的概念以及如何求不等式组的解集是有类似的学习经验的和相近的认知基础的．学生类比一元一次不等式和二元一次方程组的知识来认识一元一次不等式组的相关知识并不困难．基于以上的理解，本节课的教学目标确定为：经历实际问题中的数量关系的分析、抽象、建立不等式组模型的过程；知道一元一次不等式组及其解集的意义；会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集．

    笔者近期参加南京市基于“四基”的教学项目研究，课题组开展同课异构活动，课题为“一元一次不等式组及其解法”，下面提供主要教学环节两种设计方案供大家交流，期待大家给予指导和改进建议．

一、主要教学环节的设计与分析

（一）“一元一次不等式组的概念”的教学

设计方案1：

问题1  在前面我们学习了一元一次不等式，知道了一元一次不等式的有关概念，今天我们要学习一元一次不等式组，大家能否从字面上来推断一下它们之间是否存在一定的关系呢？请交流后发表自己的见解．

问题2  某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月．如果每月比计划多烧5吨煤，那么取暖用煤总量将超过100吨；如果每月比计划少烧5吨煤，那么取暖用煤总量不足68吨．该校计划每月烧煤的总量在什么范围内？

问题3  从上面的形式中，大家能否根据一元一次不等式的概念来类推一元一次不等式组的有关概念呢？请互相讨论．

设计方案2：

1．研究如下的例子：

① 物体A的重量大于2g，   ② 物体A的重量小于3g，

③ 某天的最低气温是－5℃， ④ 某天的最高气温是10℃．   

    如果设A物体的重量是x克，某天的气温是t℃，请用式子把①、②、③、④中的不等关系表示出来．

2．物体A的重量、某天的气温分别满足怎样的两个不等关系？

设计意图：方案1基于学生学习一元一次不等式和方程组的基本经验，重视了概念的类比过程；从实际事例引出数学概念，重视了概念的产生的背景．方案2通过实际事例引出数学概念，重视了概念的提出过程；学生根据背景材料，运用已有的知识，进行观察、分析、抽象和归纳，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，这有助于增强学生的应用意识．

（二）“一元一次不等式组的解集的意义”的教学

设计方案1：

问题1  回顾二元一次方程组的解的意义，你能说出不等式组的解集的意义吗？问题2  你能确定上述问题中该校计划每月烧煤的总量在什么范围内吗？

问题3  请把上面列出的不等式组中的两个不等式的解集分别用数轴表示出来，并观察各不等式组中每一个不等式的解集的公共部分？

问题4  通过前面问题的讨论，你认为应该如何确定一元一次不等式组的解集？

（先在数轴上把不等式组中的每一个不等式的解集表示出来，再观察各解集之间有无公共部分，若有公共部分，这就是不等式组的解集，否则无解．）

设计方案2：

问题1  请把上面列出的两个不等式组中的每一个不等式的解集分别用数轴表示出来（每一条数轴上表示一个不等式组），并观察各不等式组中的每一个不等式的解集有没有公共部分？（学会利用数轴，观察、识别几个一元一次不等式的解集的公共部分，是正确求不等式组解集的基础．）

问题2  请运用你已有的知识，给一元一次不等式组的解集、解一元一次不等式组下个定义．

设计意图：方案1基于学生掌握了二元一次方程组的解的意义上，让学生说出不等式组解集的合理化的意义，这有利于培养学生类比拓展的能力．方案2基于学生掌握了一元一次不等式的解集、解一元一次不等式的概念的基础上，让学生运用类比的方法给一元一次不等式组的解集、解一元一次不等式组下个定义，有利于培养学生主动获取知识的能力．

（三）“例题”教学

1．关于例1的教学

例1  利用数轴确定不等式组的解集．

设计方案1：

问题1  回顾不等式组解集的概念，谈谈如何理解不等式组的解集．

问题2  你认为应该如何确定一元一次不等式组的解集？

问题3  在同一个数轴上表示出：不等式和的解集；你能借助图形确定不等式和的解集的公共部分吗？谈谈你是如何理解的？

问题4  利用数轴确定不等式组的解集．

设计方案2：

问题2  利用数轴确定不等式组的解集．

设计意图：方案1中通过问题1和问题2的讨论明确确定一元一次不等式组的解集基本方向（先在数轴上把不等式组中的每一个不等式的解集表示出来，再观察各解集之间有无公共部分，若有公共部分，这就是不等式组的解集，否则无解．）

方案2的问题1是根据教科书“练一练”改编而成的，目的在于让学生在数轴的直观的背景下理解不等式组的解集的意义，并能确定不等式组的解集，同时培养了学生的逆向思维，要求学生写出符合条件的一个不等式组，为问题2的解决铺平道路．

2．关于例2的教学

例2  解不等式组       

设计方案1：

问题1  求这个不等式组的解集本质上就是求两个不等式解集的公共部分，下面请大家分别求不等式 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①和 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②的解集．

问题2  如何确定不等式 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①和 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②的解集的公共部分呢？大家可以借助于数轴直观的找到不等式 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①和 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②的解集的公共部分．

问题3  写出这个不等式组的解集．

问题4  请你总结一下解一元一次不等式组的一般步骤．

设计方案2：

问题1、问题2 、问题3与设计方案1中问题1、问题2 、问题3相同．

问题4  解不等式组   

问题5  请你总结一下解一元一次不等式组的一般步骤．

设计意图：方案1的设计是引导学生明确求这个不等式组的解集的基本方向，引导学生把解不等式组的过程分为两步，先分别求出各不等式的解集，然后通过分析寻求不等式 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①和 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②的解集的公共部分，从而确定不等式组的解集．教师借助于学生练习的材料，引导思考：系数化为1时要注意什么问题？在数轴上表示各个不等式的解集时方向与端点如何画？怎样确定不等式组的解集等．学生解答这些问题时，即使发生差错，也是难免的、正常的，从失误经过讨论或指点到顿悟，这是认识的升华．方案2的设计在方案1的基础上加入一个具有对比价值不等式组，这样在不增加计算量的情况下，再次突出求这个不等式组的解集的基本方法和步骤，有利于理解解集的公共部分的形成不同方式．

3．关于例3的教学

例3  解不等式组      

设计方案1：

问题1  例3的不等式组与例2的不等式组在形式上有哪些差异？在解题步骤上可能会有哪些差异？

问题2  求不等式组的解集本质上就是求各个不等式解集的公共部分，下面请大家分别求不等式 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①和 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②的解集．

问题3  如何确定不等式 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①和 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②的解集的公共部分呢？大家可以借助于数轴直观的找到不等式 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①和 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②的解集的公共部分．

问题4  例3不等式 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①和 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②的解集的公共部分和例2不等式 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①和 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②的解集的公共部分的最大差异在哪里？

问题5  请你再次总结一下解一元一次不等式组的一般步骤．

设计方案2：

问题1、问题2 、问题3、问题4与设计方案1中问题1、问题2 、问题3，问题4相同．

问题5  解不等式组   

问题6  请你再次总结一下解一元一次不等式组的一般步骤．

设计意图：方案的设计是引导学生明确求这个不等式组的解集的基本方向，引导学生把解不等式组的过程分为两步，先分别求出各不等式的解集，然后通过分析寻求不等式 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①和 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②的解集的公共部分，从而确定不等式组的解集．让学生在探索的过程中自主处理不等式组无解的情况，有利于培养学生独立思考的能力．方案2的设计在方案1的基础上加入一个具有对比价值不等式组，这样在不增加计算量的情况下，再次突出求这个不等式组的解集的基本方法和步骤，有利于理解解集的公共部分的形成不同方式．

二、结束语

    人民教育出版社章建跃先生在《中学数学课改的十个论题》中强调，理解数学、理解学生、理解教学是进行新课程数学有效教学的三大基石．这就要求我们更深入、透彻地“理解数学，理解学生，理解教学”，设计出符合数学，适合学生，利于教学的教学实施方案．

 “一元一次不等式组及其解法”的最近发展区实际上就是一元一次不等式的有关概念以及二元一次方程组的的有关概念．方案1中对于一元一次不等式组的概念引入主要让学生从字面上来推断一下一元一次不等式与一元一次不等式组之间是否存在一定的关系，重视了概念的类比过程，同样对于不等式组解集的教学是在学生掌握了二元一次方程组的解和不等式解集的意义上，让学生运用类比的方法理解一元一次不等式组的解集的内涵；方案2中对于一元一次不等式组的概念引入主要思路是由实际事例引出数学概念，重视了概念的产生的背景，将实际问题抽象为数学问题，建立起数学模型，有助于增强学生用数学的意识，同样对于不等式组解集的教学是在学生掌握了不等式解集数轴表示方法基础上引入的．教学设计方案没有好坏之分，只有适合与不适合的区别．因此，无论是哪种设计方案都必须在理解数学、理解学生、理解教学的基础上选择适合学生认知特点，符合学生学习经验的方式进行设计．我们在数学教学中努力要实践“三个理解”的思想，把“三个理解”的思想渗透到平时的课堂教学中．