化归法在最值问题中的应用

化归法在最值问题中的应用

                      南京市宁海中学分校    蒋敏

    我们经常用代数方法求一些最值问题，但有时也会遇到麻烦，有的过程繁琐，

有的方法不明，无从下手.此时，如果我们善用化归法，从几何的角度分析，充

分利用图形的特征，便能轻松解题.

所谓化归,从字面上可理 解为转化和归结的意思.化归法指的是把待解决

的问题,通过某种转化过程,归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去,最终求得原问题之解答的一种手段和方法.在这个过程中,关键是如何转化,转化的方法有多种，其中有一种很重要的转化途径是数形结合,即通过图解或绘制图象的方法来求解正确答案.下面例说用化归法求最值问题.

1求线段长度之和的最值

1.1两个定点一个动点

   如图1（1）,在菱形ABCD中,AB=4a,点E是BC的中点,点P在BD上,则PE+PC的最小值是多少?

思路分析：在P, E,C三个点中,有两个定点C, E,一个动点P.所以线段PE和PC的长度都不确定.要求PC+PE的最小值，可以把PE和PC 转化到同一条直线上.如图1（2），利用菱形是轴对称图形,BC的中点E关于BD的对称点F一定落在AB的中点上,得PE=PF，那么只要求出PF +PC的最小值即可. 根据两点间线段最短的原理,连结CF交BD于点P,当点P位于如图位置时，PE+PC最小.问题就转化成求CF的长度了.

在RtCBF中,BC=4a,可得CF=，即答案为

变式:求的最小值.

利用“数形迁移”策略,建立直角坐标系,将代数结构转化成几何结构.此问题可转化为:在x轴上找一点,使它到两点(3,1),(-3,5)的距离和最短. 用上题的方法可得答案为.

1.2一个定点两个动点

    等腰直角三角形ABC中,AB=2a,AD是∠BAC的角平分线，在AD上找一点P,过P作PE//BC,使PB+PE最短，此时最短距离是多少？

思路分析：如图，在P, B, E三个点中，有一个定点B和两个动点P和E.先在AD上任取一点P’,过点P’作P’E’//BC，再取点B关于AD的对称点B’,得P'B=P'B'，则P’B+P’E’=P’B’+P’E’.要使P’B+P’E’最短，只要P’B’+P’E’最短.过B’作B’E//BC交AD于点P,由两点之间线段最短可知，当点P位于如图位置时, B'P+PE<B'P'+P'E'.此时PB+PE最小，最小值即为B'E的长度.

因为B'与B关于AD对称，所以AB'=AB=2a，在等腰直角三角形AEB'中，斜边AB'=2a，由勾股定理可得B'E=.

变式：求三条线段长度之和的最小值

如图3（1）,, 角内有一点P,PO=5,在角的两边上有两点M,N(均不同于O点),求周长的最小值.

思路分析：在这个问题中,点P为定点,M和N都是动点,所以三条线段PM,PN,MN的长度都不确定,那么如何确定M，N两点的位置才能使的周长取到最小值呢？如图3（2），分别取P点关于射线OA和OB的对称点和，则PM=，，则的周长=+，所以的周长的最小值就是线段的长度.利用轴对称性，可知为等腰直角三角形，=，即的周长的最小值为.

2.求线段长度之差的最值

如图4所示,两点A,B在直线MN外的两侧,A到MN的距离AC=8 ,B到MN的距

离BD=5, CD=4 ,P在直线MN上运动,求|PA-PB|的最大值.

思路分析:分类讨论，当PA>PB时，|PA-PB|=PA-PB；当PA<PB时，|PA-PB|=PB-PA.只要先研究其中一种即可.如图4，当PA〉PB时，方法是将PA和PB转化到同一个三角形中.  A,B两点在直线MN外的两侧,取B关于MN的对称点,则PB=,PA-PB=PA-.在三角形A中, 根据AP-<,所以连结并延长交MN于点,此时PA-PB最大,最大值为.通过简单计算，可得长度为5.

3.求线段长度之商的最值

如图5所示，以点P(2，0)为圆心， eq \r(3) 为半径作圆，点M(a，b) 是⊙P上

的一点，则 eq \f(b,a)的最大值是  ▲  ．

思路分析1：代数法

由已知条件可得方程,

变形得:;要求 eq \f(b,a)的最大值,可先求的最大值.（a0),令,则 ,化简得关于a的一元二次方程(m-1),再根据根的存在条件可得,≥0，得m3，即的最大值为3, 则 eq \f(b,a)的最大值是 eq \r(3) .

思路分析2:几何法

    把的值转化成∠MOP的正切值,要使的值最大，只要使 tan∠MOP的值最大，而tan∠MOP的值随∠MOP的增大而增大。何时∠MOP什么时候最大呢?通过图形的特征可知，当OM和⊙P相切时,且点M在第一象限时,的值最大.此时,tan∠MOP==,所以答案是 eq \r(3) .

相比之下,用数形结合的方法更简便.

4.求角度的最值

    如图6所示，在平面直角坐标系中,在y轴的正半轴上给定两点A(0,3)和B(0,1),试在x的正半轴上求点C,使∠ACB取最大值.

思路1:要求∠ACB的最大值, ∠ACB=∠ACO-∠BCO,而∠ACO与∠BCO都是

      变化的

思路2:也可先求tan∠ACB的最大值，即tan(∠ACO-∠BCO)的最大值,初中阶段

      目前没有公式可用

      两种思路都有难度.

思路3:用数形结合的方法，从图形的角度分析,何时∠ACB最大?.A、B、C三个点中，两个点不动,第三个点在动.联想三角形的外角大于任意一个不相邻的内角.方法是把∠ACB转化成圆周角.如图6（2），在一个圆中,同弧所对的圆周角大于圆外角,小于圆内角.所以要使∠ACB最大,只要使x轴上除C点以外的其他点都在过A,B,C三点的圆外即可.也就是说,过A,B两点的圆与 x轴相切的切点就是所求的C点.

过点P作PD⊥AB交AB于点D,由垂径定理得AD=DB，设半径为R，则3-R=R-1,得R=2.在中,BP=2,BD=1,由勾股定理得DP= eq \r(3) ，从而求得点C的坐标是.

在解决最值问题时，首先要有化归的意识，其次要有化归的方法.我们要加

强空间观念，活用几何定理，善用数形结合法，在数量关系和空间形式两大领域内遨游，从而求得最佳解题方法.

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