关于问题解决的教学思考（节选）
孙晓天（中央民族大学）
以核心概念为导向
课程标准中核心概念的意义就在于引领教学方向。
数学课程标准是一个目标体系，包括宏观的理念目标、中观的“三维一体”目标和微观的具体内容目标等不同层次的目标。其中宏观目标是数学课程的基石和愿景，中观目标是实现宏观目标的路径和方法，宏观和中观目标也被称为上位目标，而微观目标是支撑所有目标的具体内容载体。在不同层次的目标之间，由自上而下的引领和自下而上的支撑形成相互作用，从而构成一个有机的数学课程目标体系。
这里着重分析一下中观目标。
中观目标处于宏观和微观目标之间，由于离具体内容目标较远，实际上还是偏上位。例如问题解决，本身差不多涵盖了数学“发现和提出问题、分析和解决问题”的全过程，而且问题本身又涉及数学的所有领域，具体表现也林林总总，几乎把全部的数学知识内容都囊括其中了。这种自身的宏大，使为数众多的微观内容目标在向作为上位目标的问题解决聚焦时，容易产生教学上线索不清、难以把控的问题。在实际教学中就经常看到，教师在考虑与问题解决相关的教学问题时，经常脱离教材和常态教学的主题，到课外去寻找一些他们认为适合的题材，或者仅仅把教材里一些拓展性的园地中的内容像莫比乌斯带等与问题解决的教学对应起来，而数学教材里大面积的基础知识和基本技能却游离于问题解决的主题之外。这样的教学现象，肯定会影响问题解决目标的落实，削弱数学课程目标的整体性。所以，具体内容对上位目标的聚焦线索模糊，以及由此引起的教学方向不明，应当是问题解决教学面对的一个主要挑战。
其实，这个挑战可以避免。
为了解决数学课程长期以来微观目标对上位目标聚焦不足的问题，作为改革的一项重要举措，在数学课程的中观目标和微观目标之间设置了一个叫作核心概念的目标层次，发挥承上启下的引领作用。由于大多数核心概念与数学的具体内容领域有关，所以核心概念与每一个具体的数学内容都有内在联系，这就使林林总总数以百计的分散知识点，能脱离不同内容领域的束缚，凝聚在几个核心概念周围。在与具体内容密切相关的同时，核心概念又都具有与思想、经验、品格、态度等紧密联系的内涵表述，因此也就具备了上位目标应有的品质。于是，核心概念在功能上，向下能提供凝聚微观目标的线索，向上能提供支撑起宏观目标的动力，这个经由核心概念而导向上位目标的设计，能使作为中观课程目标的问题解决摆脱“虚、软”，成为对学生终生有用的知识积累。所以，前面提到的“聚焦线索模糊，教学方向不明”等，其实是源自对核心概念的理解和重视方面的问题。如果以核心概念为导向考虑问题解决的教学，问题解决就有可能在日常的数学教学中生根。
顺便提及，在高中，核心概念已经被称为核心素养，并与“三维”目标相互支撑、融为一体，并列为中观目标。目前义务教育数学课程设有十个核心概念，除创新意识和应用意识之外，其余八个核心概念都一方面与具体内容领域融为一体，另一方面又与上位目标的内涵密切相关，以承上启下的态势，明确居于中观和微观目标之间。所以，义务教育数学课程的核心概念更像是一个独立的目标层次。这种定位，与核心概念的教学引领作用更适切。如果与“三维”目标混在一起，具体内容目标向上位目标聚焦的问题还是难以解决，核心概念的教学意义还会难以凸显，宏观目标的“虚、软”问题仍难找到扎实的解决方案。
因此，把义务教育数学课程目标理解为由宏观目标、中观目标、核心概念目标和具体内容目标四个层次构成的体系，有利于教师通过核心概念的枢纽作用，把握数学教学的方向。而教学方向的清晰，有助于缓解宏观目标“虚、软”的现状，使“双基”摆脱应试教育的阴霾，真正成为学生全面发展的基石。
以核心概念为导向，学生将走上主动学习之路。
一般来说，被动接受和主动学习都是重要的数学学习方式，缺一不可。但过去几十年里，因为灌输和机械训练对应试确实管用，所以被动接受大行其道，而学生的主动学习，差不多只是挂在口头上。今天，面对时代的不断发展和社会的飞速进步，谁都清楚，这样的教学状况一定得改一改了，不然会出大问题。
教学改革像任何改革一样，都是从弥补弱项改起的。教学的弱项，最突出的是学生的主动学习。但新课改也有二十年了，虽然一再深入，可结果并不理想。对此，从教学角度比较普遍的归因是考试文化的制约，也有的归因为传统教学的习惯使然，等等。这些归因都不无道理，实际上是同一个原因，因为传统的教学本身就是应试导向的。由于已经形成习惯，所以应试导向的教学习惯就较难改变。尽管教师不乏改革的理想，也有探索的愿望，但整体上，对那些有改革意义的教学路径就是亲近不起来、熟悉不起来，在常态教学中也用不起来。如果以应试为导向的教学习惯不能得到一定程度的抑制，关于教学改革的一切努力，可能都是纸上谈兵。
在有助于教师改变应试导向的教学习惯方面，核心概念导向也有重要意义。为了说明这一点，我们回到问题解决上。
应试导向的教学习惯，表现之一就是教师总是为讲得“精彩”而较劲，可问题解决本身恰恰是不能靠灌输而使学生被动接受的，教师较劲就可能引起教学上的犹豫不定，讲不了又放不开，往往又回到原来熟悉的以“开门见山”为标志的老路上去。这样一来，问题解决的过程也就可有可无了，问题解决的目标还是形同虚设。
如果问题解决的教学从核心概念出发，情况就会有所改观，学生的主动学习将融入问题解决的全过程，教师也将产生改变应试导向的教学习惯的主动性。下面仅以核心概念中的运算能力为例说明改观主要源自哪里。
内涵驱动
课程标准中作为核心概念的运算能力有两层含义。一是“能够根据法则和运算律正确地进行运算”。与传统的运算能力提法相比，这里少了沿袭几十年的“正确而迅速”中的“迅速”这一要求，这个删减对运算的教学方向做出了引领。限于本文的主题，对此不展开。二是运算能力要“有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题”。其中“运算途径”可简称为“算法”。“寻求算法”与上位目标的内涵密切相关，寻求的主角是学生自己，即这个算法不是教师教的现成结果，而是学生在理解算理的基础上自己发现的。
弄清核心概念的内涵，学生的主动学习就成了运算能力教学的基本路径。
教学方向引领
根据运算能力的内涵，“寻求”是一条以某种运算技能为目标的主动学习之路。这是一条从无到有的问题解决之路，离不开发现问题、提出问题、解决问题、应用意识、创新意识和实践能力等要素，而这些要素都与课程标准中“问题解决”目标的内涵有关。这样，从无到有寻求算法的过程，就从具体数学知识和技能的角度，对数学课程“三维一体”的大目标形成支撑，数学课程的微观目标和宏观目标就都处在同一个教学方向上了。
核心概念决定的教学方向，就是把学生的主动学习之路引领到问题解决的方向上去。
教学方式推进
寻求（或发现）是一种主观能力，不是教或被动接受的结果，需要学生自己在经历、体验、探索的过程中，自主积累和形成。由于寻求之策不能教，所以传统的教学方式就很难派上用场。传统的教学习惯无从发力，改变原来熟络的教学习惯，寻找新的教学路径，就成了教师引导学生寻求的当务之急。于是，教师对教学的新举措、新方式就会有越来越主动的需求，一切以学生主动学习为目标的教学方式都会成为在常态教学中大显身手的选项。像启发式、探究式、合作式、参与式，甚至项目化学习、情境教学等，就都有了走入常态数学教学的可能。
教学的新方式，既是学生主动学习行之有效的载体，也为教师改变应试导向的教学习惯提供了选项。
与数学化同步
无论采取何种新的教学路径，符合核心概念要求的教学实施过程都要满足以下条件：
（1）每前进一步都由问题引领；
（2）每解决一个问题都要做到合理有据（主要通过抽象、推理或计算）；
（3）涉及多种解决问题途径时，以简洁程度为尺度筛选；
（4）结论要具有一般性，以非常基本的规律和方法为目标；
（5）结论要达成共识，成为共同理解，并为必要的迁移预留空间。
从核心概念出发，无论何种教学路径、方式，都一定要对这几个条件做出响应，因为它们既是核心概念自身的要求，也是数学学科特征的体现，是学生的主动学习之路成为一条数学化之路的保障。
以常态教学为目标
如果某种教学形态只是偶露峥嵘，改革意义肯定有限。有改革意义的教学探讨要以常态教学为目标。常态教学一般由具备普遍适应性的教学模式或流程支撑，否则很难形成教学常态。所以问题解决的教学也需要模式或流程支撑。由于问题解决的内涵相对宏大，与之相应的教学模式需要为所有核心概念和内容领域留出进一步具体规划的空间，所以结构也要相对宏观，设计上不必过于精细。图1所示就是这样一个粗线条的教学流程，不妨称为“问题引领教学流程”：其中的“为什么”即相互关联、成串出现的问题。根据问题的来源能区分不同的教学方式。如果由教师设问，这个流程就表现为启发式教学；如果所有的问题都由学生自己发现并提出，这个流程就表现为探究式教学；如果问题来自一个小课题或一个现实情境，又会表现为项目化、情境教学等。无论何种方式，这个模式的最终结果都要由学生自己得出，否则与该模式无关。
