解题研究，共同成长
——“南京市黄秀旺名师工作室”研修活动报道
2018年8月5~6日，南京市黄秀旺名师工作室成员在主持人黄秀旺老师的带领下，参加了在南京举行的“特级教师于新华中考数学解题研究”专场讲座。来自全国各地700多人参加了本次活动。
两天的时间于老师为我们带来了16个专题讲座，每个讲座都是他经过多年的实践与总结打磨而成。
讲座1：趣谈12345秒题技
“2(1)”＋“2(1)”＝“3(4)”； “3(1)”＋“3(1)”＝“4(3)”；
“2(1)”＋“3(1)”＝45°；45°＋“3(1)”＝“2”；
45°＋“2(1)”＝“3”；“2”＋“2(1)”＝90°；
“3”＋“3(1)”＝90°；
(说明：∠EBC＝“3(1)”，这样的符号就表示tan∠EBC＝“3(1)”，其他类同。)
讲座2：解三角形的基本功
于老师通过具体的中高考试题详细解读了解三角形的策略：先定性；无论是已知角还是未知角一定要构造直角三角形；根据题意巧设份数；补美；源于对垂直的思考，并能从中品味数学、玩味数学。
例：△ABC中，a＝7，b＝5，c＝3，求A.
如图1，易知∠A＝120°，即3，5，7构成的三角形边为7所对的角为120°(如图1)，同时也可拓展为8，5，7构成的三角形边为7所对的角为60°(如图3)，8，3，7构成的三角形边为7所对的角为60°(如图4)
讲座3：面积公式绝妙推广
S△ABC＝2(1)BC×AD；
S△ABC＝2(1)AE×BF；
（利用△ADE∽△BFC即可证明）
讲座4：纵横比与垂直处理
由图6可知，纵横比之积＝1,垂直就是构造“K”型图。
讲座5：矩形大法横空出世
我们如何刻画一个角大小呢？角的大小有两种刻画方法：一种是传统的、人人皆知的度数刻画法；另一种是常被我们忽略的边长刻画法（即三角函数值）。如果两个角的大小是用度数体现的，那么这两个角的和与差的度数能够非常容易地计算出来。但如果两个角的大小是采用边长（即三角函数值）刻画的，那么两个角的和或差的大小是多少呢？自然，这两个角和与差的大小也只能采用三角函数值刻画。
如：利用矩形大法解释“2(1)”＋“2(1)”＝“3(4)”（即：已知tanα＝2(1)，求tan2α）
讲座6：纵横比与巧设增量
对于部分试题，我们往往可以采用“巧设增量”的方法来快速解题，如：
如图，已知一次函数y＝－3(4)x＋4的图像是直线l，设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B. 设点M在射线AB上，将点M绕点A按逆时针方向旋转90°到点N，以点N为圆心，NA的长为半径作⊙N.当⊙N与x轴相切时，求点M的坐标________
讲座7：巧妙解决45°问题，进而构造“K”型图解决。如：
已知反比例函数y＝x(k)的图像经过点E（3，4），现请你在反比例函数数y＝x(k)的图像上找出一点P，使∠POE＝45°，则此点P的坐标为_______。
讲座8：双曲线的几何性质
如图11，双曲线任意两点的纵横比＝x1x2(k)x1x2(k)
1、平行性质
在双曲线上任取两点，经过两点中的一点作x轴的垂线，另一点作y轴垂线，两垂足的连线与两点的连线互相平行，如图12。
2、相等性质
如图13，点A、B在反比例函数数y＝x(k)的图像上，直线AB分别交x轴、y轴于点C、D，则AC＝BD。
3、中点弦性质
如图14，点AB是双曲线y＝x(k)的弦，M是AB的中点，则直线AB、直线OM与x轴（或y轴）构成的锐角相等。
4、直径性质
如图15，点P、A、B是反比例函数y＝x(k)图像上三个不同的点，且A、B关于原点O对称，则PA与PB与x轴（或y轴）构成的锐角相等。
5、平四性质
如图16，□ABCD中，A、B在反比例函数y＝x(k)图像上，点C、D分别在x轴、y轴上，则□ABCD 任意两边所在的直线与x轴（或y轴）构成的锐角相等。
讲座9：抛物线的几何性质
1、定义性质
如图17，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)上任取一点A（异于顶点C），过点C作x轴的平行线，再过点AB作其垂线，垂足为点B，则有CB2(AB)＝。
2、纵横比性质
如图17，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)上任取两点A、C，设点A（x1，ax12＋bx1＋c）、点B（x2，ax22＋bx2＋c），则有纵横比的绝对值＝a(x1＋x2)＋b。
3、平行弦性质
如图18，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)上任取四点A、B、C、D，如AB∥CD，则有xA＋xB＝xC＋xD。
4、于函定理
如图19，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)上任取三点A、B、C，过任意一点（如点C）作直线l∥对称轴，过点A、B作AM⊥l，BN⊥l，则有OC＝·AM·BN。
5、面积性质
如图20，在抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图像上上任取三点A、B、C，则有
S△ABC＝2(1)。
讲座10：利用垂直解决问题
已知点的坐标求未知点的坐标、已知线段长求未知线段的长往往可以利用垂直来解决问题，处理过程中往往与纵横比、矩形大法、“12345”大法融会贯通。
讲座11：利用平行解决问题
利用平行处理可以转移角，也可以转移比值（纵横比相等）。例如：
如图21，抛物线y＝2(1)x2－2(3)x－2与x轴交于点B和点C，与y轴交于点A，点D为第四象限内抛物线上一点，连接BD交AC于点E，求BE(DE)的最大值。
分别过点B、D作BM∥y轴，DN∥y轴，于是利用平行可以将BE(DE)转化为BM(DN) 。
讲座12：深刻领悟方程思想
所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程(组)使问题得到解决的思维方式 。 用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。例：
如图，在⊙O中，点C在优弧⌒(AB)上，将弧⌒(BC)沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是（ ）
A．2 B．3 C．2(3) D．2(65)
连接CA、CD，过点C作CE⊥AB，垂足为E，由题意得：CA＝CD，设CE＝h，则CA＝，＝，
由 CA＝2R·CB得：
＝2·h2＋9(h)h2＋9(h)。
讲座13：局部带动整体变换
初中的几何变换包括平移、旋转、翻折、位似以及它们的结合，解决此类题目应有“眼中有动点，心中找路径”的策略，而将点动与形动巧妙转化，是一种局部变换与整体变换统一性的深刻体现。例如：
如图，在平面内，线段AB＝6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC＝PA，若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点
运动的路径长为_______.
此题解题关键在于知道△CDE上任意一点运动的路径长＝点E运动的路径长，于是将“点E运动的路径长”转化为“点C运动的路径长”
讲座14：倍半角的解题技巧
倍半角的解题策略是“进退自如”，半角——退，倍角——进。解题过程中往往与“12345大法”、“矩形大法”、“垂直处理”的融为一体。如图24：
讲座15：通法探求几何最值
此类题解题策略主要是先明确哪些量是确定的？哪些量是待定的？再结合初中所涉及到的距离（点与点、点与线、点与圆、线与圆）进行解题，这类试题往往涉及到运动变化，必要时构造辅助线、辅助圆。
讲座16：综合题的解法欣赏
综合题要能找到解决问题的突破口，比如分解出熟悉的图形、类比已有解题经验等。
此次培训，我们工作室各成员收获满满。如：图形确定性、因果分析法、想有背景，解不超纲、上下贯通，灵活自如、先有直觉感悟，后有逻辑推理等。我们应一方面重视技巧，尤其是考试技巧学习技巧，另一方面也要回归数学本质，回归教育意义。学习的灵魂在于积累、创新、归纳而不是照搬的模仿和接受，要有自己的数学大格局，适合自己的就是最好的！在今后的教育教学中，我们定会加强解题研究，寻求最佳解题方法，少让学生走弯路，提升自己及学生思维的深度及广度，进而提升教育教学质量。
（报道供稿：溧水高级中学附属初级中学 杨绍平）
