“等腰三角形与等腰梯形”习题课教学设计
（苏科版）
南京师大附中新城初中 叶旭山
一、总体设计意图
“等腰三角形与等腰梯形习题”是苏科版教材八年级上册第一章第五节“等腰三角形的轴对称性”与第六节“等腰梯形的的轴对称性”之后安排的一节习题课的内容，进行教学设计的目的是为了支持学习过程，为了使学习有效的发生．尤其在数学习题课中，教师应如何根据学生在新授课学习及作业中反馈的具体情况来处理好教学设计问题，如何在习题课中使教学在有限的时间内有效的开展，最佳的帮助学生学习，以达到“低能耗，高效率”是各位教师应该长期坚持去实践研究的．
本节习题课的教学设计力图完成三大任务：核心知识回顾、基本解题技能的提高与解题方法的优化（查漏补缺）、解决问题能力的提升．教学设计结构为问题情境、建构活动、数学化认识、基础性训练、拓展延伸．设计力图通过先从学生相对比较熟悉的一组课本常见习题到由课本习题改编加深的习题的练习出发，一方面进一步巩固概念、定义和结论，另一方面训练推理求解过程中书写的严密性、规范性和方法的优化．符合学生最近最近发展区，也能够充分调动学生学习与探究的主动性．然后通过题组训练加强对学生基础知识基本技能的训练的同时提升学生的解题能力，最后在基础性训练的基础上进行拓展延伸，考查学生类比与分类数学思想方法和对学生数学活动经验的掌握情况．
二、教学目标及教学重难点
教学目标：
1．通过课堂练习进一步理解本单元的有关内容，能通过具体的练习归纳和提炼重要的基础知识；
2．通过基本题规范要求和一题多解，开拓解题思路，进一步提高基本解题技能与掌握解题方法的优化；
3．通过一题多问、一题多变，强化思维训练，进一步体验数学活动经验和渗透数学思想方法，从而提升数学解决问题能力.
教学重点：
回顾本单元所学重要知识点，进一步提高基本解题技能与掌握解题方法的优化.
教学难点：
通过课堂练习体验数学活动经验和渗透数学思想方法，从而提升数学解决问题能力.
三、教学过程
1．问题情境
问题1：（课本第39页第11题）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，且DM ⊥AB，DN⊥AC垂足分别为M、N. DM 与DN一定相等吗？为什么？
问题2：（课本第34页第3题改编）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC ＝AD，BD⊥CD．求∠CBD的度数．
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B |
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M |
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N |
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D |
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A |
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图1 |
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C |
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D |
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A |
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B |
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图2 |
【有效性设计说明：作为习题课，重点知识回顾和基本技能的强化成为习题课不可或缺的环节，是防止知识遗忘和达到知识逐步系统化的过程．但学生对于一些定义、结论等的记忆常常是机械、枯燥的，在回顾的过程中，如果只是单调的采取概念展示或一味的练习都会产生心理疲劳，继而产生厌倦感，导致接受能力降低．课堂教学设计时可将将知识点“小题化”，利用练习对知识点加以巩固和归纳，即有助于提高课堂效率，又不会在枯燥的练习中消磨学生的积极性．
上面设计这样一组问题情境设计的认知源及教学起点的选择是从学生相对比较熟悉的一组课本常见习题出发到由课本习题改编加深的习题，既符合学生最近最近发展区，也能够充分调动学生学习与探究的主动性．通过这样的一组课本常见习题或改编习题的练习，一方面进一步巩固概念，和定义、结论使用时条件的完备性，另一方面训练推理求解过程中书写的严密性、规范性和方法的优化.】
2.建构活动
（1）在学生完成问题1的解答之后，设计问题：问题1的解答使用有关等腰三角形的哪些重要的结论？同时比较问题1的几种不同的解法（预计有学生直接说明△BMD≌△CND，也有连接AD 再说明△AMD≌△AND，还有连接AD说明AD为角平分线再利用角平分线的性质就可以解决），引导学生认识其优越性.
（2）在学生完成问题2的解答之后，设计问题：问题2的解答使用有关等腰梯形的哪些重要的结论？同时比较问题2的几种不同的解法（预计有学生设未知数然后列方程解决，也有部分学生不设未知数直接解决），引导学生认识其优越性.
【有效性设计说明： 在使用问题情境的过程中应该充分体现实际操作的灵活性，即根据学生对重要知识点和基本技能的掌握情况，和具体的遗忘情况在课堂中及时调节回顾．在教会学生对重要结论总体把握与提炼的同时，还必须要求各个知识点的细节也要落实到位，比如推理求解过程中书写的严密性、规范性，条件结论使用的完整性都必须落实到位.】
3.数学化认识
（1）重点知识回顾：等腰三角形的性质与判定，等腰梯形的性质与判定
【有效性设计说明：从上述两个问题中回顾总结出等腰三角形的性质与判定，等腰梯形的性质与判定这些核心知识，同时需要再次强调这些结论的符号语言表示方式．】
（2）基本解题技能的提高与解题方法的优化：及基本技能的提高， 几何计算与推理方法的优化
【有效性设计说明：对上述两个问题多种解法的比较，让学生亲身体会几何计算与推理方法的优化的重要性，同时需要再次强调几何初步推理解题的规范化要求．】
4．基础性训练：
问题3：在△ABC中，∠A＝80°，当∠B＝ °时，△ABC是等腰三角形．
问题4：如图3，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，∠BAD＝36°．
（1）分别计算∠1，∠2的度数，∠1＝ °，∠2＝ °.
（2）图中等腰三角形共有 个，它们是： ．
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1 |
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2 |
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D |
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B |
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C |
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A |
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图3 |
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O |
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A |
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B |
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D |
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C |
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图4 |
问题5：如图4，AC和BD相交于点O,且AB∥DC, OA=OB，试说明：OC与OD相等．
问题6：如图5，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，AC＝BC．求∠B的度数.
问题7：如图6，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AD延长线上一点，CE＝CD，试
说明：∠B＝∠E.
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1 |
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4 |
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3 |
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2 |
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C |
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D |
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A |
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B |
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图5 |
问题8：(1)如图7，把一张长方形的纸片（AB＝CD,AD＝BC, AB∥CD,AD∥BC）沿对角线折叠，你有什么发现？说说理由.
(2)如图8，在(1)的基础上延长BA，DE交于点M，你有什么新的发现？说说理由.
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O |
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E |
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A |
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B |
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C |
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D |
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图7 |
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M |
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O |
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E |
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A |
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B |
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C |
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D |
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图8 |
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【有效性设计说明：本组习题设计的目的是为了通过基本题规范要求和一题多解，开拓解题思路，进一步提高基本解题技能与掌握解题方法的优化，通过一题多问、一题多变，强化思维训练.对于问题7可引导学生再观察和认识图7，说说等腰三角形与等腰梯形之间的紧密联系（等腰三角形加过一腰的平行于底边的直线可得到等腰梯形，反过来等腰梯形通过延长两腰可得到等腰三角形），逐步建立知识的整体化系统化. 】
5．拓展延伸：
问题：如图9，位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A＝∠B，如果这两艘救生船以同样的速度出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？说说理由．
【有效性设计说明：这是实际生活中问题，首先要引导学生将其转化为一个简单的数学问题，然后利用相关结论加以解决．】
变式1：
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O |
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B |
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A |
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D |
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C |
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图10 |
在两艘救生船未到达出事地点之前，对于两艘救生船的位置（如图10），你有哪些发现？说说理由．
变式2：
在两艘救生船未到达之前，又接到喜讯原出事地点O处险情已被排除，同时接到另外M处遇险船只的报警，结果这两艘救生船在改变方向后不改变速度大小的情况下同时出发同时赶到出事地点M．
（1）如图11, 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，点M在梯形ABCD外且MC＝MD．你有什么新的发现？说说理由．
（2）如图12 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，点M在边CD上且CM＝DM．你有什么新的发现？说说理由．
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B |
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A |
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D |
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C |
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M |
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图11 |
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B |
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A |
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D |
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C |
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M |
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图12 |
【有效性设计说明：在课堂上进行具有一定综合性的练习，通过当堂核对答案，并进行讲解释疑，可以达到对学生练习的结果，练习的效果进行及时反馈的功能．习题课的设计教学设计应该既考虑基础知识的缺陷，又要考虑学生的技能、能力方面存在的不足，尤其在基础不太好班，就应该针对为数不少的惧怕数学的学生的心理特点，先从最基本的直接利用结论入手，重视解题规范性的提高，编拟的问题既有基础知识的内容又有基本技能、能力方面的要求．
本课该环节的设计中，图9可以直接利用“等角对等边”的性质解决，图10设置为开放性问题，大部分的问题是属于等腰三角形与等腰梯形的基础知识的内容又有基本技能的要求，图11与图12则对能力方面的有一定的要求．】
变式3：
请模仿上述问题提出一个类似的问题，并参照上述解决问题经验的解决提出问题．
【有效性设计说明：一般说来，拓展延伸环节是在充分考虑前面几个环节的基础上来安排的．对这个环节的设计一般可以通过设计数学问题来进行，所编拟的问题，既可以在知识点上有一定的覆盖面，也可以在能力上有一定的要求．
本课该环节的设计是在基础性训练的基础上要求学生模仿上述问题提出一个类似的问题，并参照上述解决问题经验的解决提出问题，这是对学生类比与分类数学思想方法的考查，同时也是对学生数学活动经验的考查，对学生能力的要求非常高，教学不能要求人人达到．教师在使用这一问题时要结合学生课堂的具体反应适时调控，如增加设问降低难度等．】
四、教学反思
1. 教学设计是为了达到教学活动的预期目的，尽可能的减少教学活动中的盲目性与随意性而进行的科学设计，是一种为达到预期教学成果的最优化的教学行为．成功的课堂需要精心的设计，它是课堂教学精彩生成有效性的前提，但并不是课堂教学成功的唯一要求．课堂教学是动态的，需要教师根据实际情况灵活选择、整合乃至放弃原有的教学设计，机智生成新的教学方法，使静态的设计变成动态、富有灵活性的课题活动．本节课在教学实施过程中，对于学生生成的问题处理得有点急躁，例如问题1中角平分线性质使用过程中漏写条件，强调得还不够到位，问题8中△BOD是等腰三角形的理由给学生的时间不够充分等等．
2．对于习题课在教学中的作用大致可以从三个方面去理解：（1）深化与活化作用，通过习题教学及练习，学生可以进一步深化、活化基本知识与基本技能，并能达到牢固的掌握概念，深刻地理解规律的目的；（2）反馈与补偿作用，通过习题教学和练习，教师可以随时得到有关学习情况的反馈信息，借以调整教学内容、方法和进程，已经理解的基础知识并不一定达到能灵活运用的程度，因此就要借助习题课来达到补偿； （3）巩固与提高作用，为了牢固地掌握基础知识，就需要通过习题教学来巩固。与此同时，在已经巩固的基础上，再通过习题教学，达到提高运用知识，分析问题和解决问题能力的目的。
3．在习题课当中教师的责任在于通过各个教学环节，对学生的弱点进行有针对性的训练和培养。为此，就要把习题课作为一种重要的教学补偿手段，精选一些与教材内容相联系的习题展开分析和讨论，提高学生运用所学知识分析和解决较为复杂的具有灵活性和综合性问题的能力。同时要注意重点突出，不可能要求面面俱到，本课再具体实施过程中时间不够用，导致拓展延伸部分无法完成。就本课两条主线方法的优化与选择，书写的规范与条件的完备，有些问题可以去掉，例如问题3、问题4、问题7等等，这样更能突出本课的主题。
4．在习题课教学中，教师要充分发挥学生的主体用途，要通过知识的纵向延伸，横向发展，系统扩充来发挥习题的补偿与提高作用，大幅度地提高习题课的效率和质量。但是在进入解决问题的环节时，教师一定要注意对所教学生层次的定位，切不可只针对数学成绩较好甚至是优秀的学生身上。本课的拓展延伸选材非常新颖，设置煞费苦心，但对于学生的能力要求比较高，难度设置较大，过于综合，会导致相当一部分学生山生畏惧心理，不利于数学技能训练的整体提高．可以对问题进行逐步分解和暗示，也可以进行有效的变式训练，从而达到训练学生分析和综合应用能力的目的．
